Kurs Funktionen
Ein Schwerpunkt in der Oberstufenmathematik ist der Themenbereich Funktionen - auch bezeichnet als Analysis.
Beispiel: Papierfalten
Starten wir mit einem Beispiel, über das man ins Staunen kommt::
Ein Papiertaschentuch, das zweieinhalb Millimeter dick ist, kann man falten und es wird es doppelt so dick. Wenn man das immer wieder macht - fünzig Mal - wie hoch wird dann der Stapel? Ich wette, die Lösung kannst du nicht auf Anhieb schätzen - und die Aufgabe nicht durch Ausprobieren lösen.
Was hilft, ist eine Formel, in die ich eingeben kann, wie oft ich falte, und mit der ich dann die Höhe berechnen kann.
Hier ein Bericht von Roald Dahl über eine entsprechende Mathematikstunde in seiner Jugend: AB Corkers
Beispiel: Lackverbrauch
In einer Fabrikhalle sind zu Beginn 90 Liter Lack vorhanden.
Stündlich werden 1,5 Liter verbraucht.
Um alle möglichen Fragen hierzu klären zu können, kann man eine Funktionsgleichung aufstellen.
Mit der kann man z.B. berechnen, wie viel Lack nach 12 Stunden noch da ist oder wann man neuen heranschaffen sollte.
Mir diesem Arbeitsblatt kannst du das einmal versuchen: AB Lackaufgabe
Nur für den Fall, dass du genau das nochmal trainieren möchtest: hier ein Trainings-Blatt
Funktionsbegriff
Das waren jetzt schon sehr unterschiedliche Beispiele für für Funktionen. Bestimmt kennst du noch viele andere.
Alle haben gemeinsam, dass einer Zahl, die man einsetzt, genau eine andere zugeordnet wird:
z.B. wird der Anzahl der Faltungen die Höhe des entstandenen Stapels zugeordnet
oder der vergangenen Zeit (in Stunden) die Lackmenge, die dann noch vorhanden ist.
So etwas nennt man Funktion.
Die Zahl, die man einsetzt, nennt man Stelle (oft wird das in der Formel mit "\(x\)" bezeichnet.)
Die, die rauskommt, nennt man Funktionswert an der Stelle \(x\) (also \(f(x)\), wenn die Funktion \(f\) heißt).
Dabei darf man nicht immer jede Zahl für \(x\) einsetzen: Bei der Papierfaltaufgabe macht \(x=1,5\) wenig Sinn: Man kann Papier schließlich einmal falten oder zweimal, aber nicht anderthalbmal.
Die Menge aller "zulässigen" Zahlen, die man einsetzen darf, heißt Definitionsmenge von \(f\).
Eine Funktion ist häufig über die Funktionsgleichung angegeben.
Es gibt aber auch andere Darstellungen:
die Wertetabelle und den Funktionsgraph.
Es ist wichtig, die Verbindungen zwischen diesen Darstellungen zu kennen, damit man dazwischen hin- und herwechseln kann.
Kür: Wer das alles ganz genau wissen will und dafür auch sehr lange Texte lesen mag, kann sich hier vertiefen - wer schnell an den wichtigen Punkten weiterarbeiten will, kann es aber auch gut überschlagen.
Stelle und Funktionswert
Die Begriffe " Stelle" und " (Funktions-)Wert" braucht man, um die entsprechenden Grundaufgaben richtig zu verstehen:
Erinnerung:
Stelle ist \(x\),
(Funktions-)Wert ist \(y\), also \(f(x)\)
Funktionsgraphen und grafisches Lösen
Bei einer grafischen Aufgabe suchst du Punkte auf dem Funktionsgraphen, die die gesuchte Koordinate haben.
Dabei gilt: Der Punkt \((x\vert y)\)) liegt genau dann auf dem Graph von \(f\), wenn \(f(x)=y\).
Das klingt erstmal gewöhnungbedürftig, aber wenn du damit vertraut bist, eine Wertetabelle zu machen und auf dieser Basis einen Graph zu zeichnen, dass wusstest du das im Kern schon und hast es dir nur in der Form noch nicht klar gemacht.
Damit kannst du bei gegebener Stelle den Funktionswert ablesen:
Wenn z.B. der Wert von \(f\) an der Stelle 3 gesucht ist, gehst du zur 3 auf der x-Achse. Jeder Punkt senkrecht darüber und genauso jeder darunter hat die x-Koordinate 3.
Geh solange senkrecht nach oben oder unten, bis zu auf den Funktionsgraphen triffst. Die Höhe des gefundenen Punktes liest du an der y-Achse ab. Das ist der Wert.
Umgekehrt ist es bei gegebenem Funktionswert:
Wenn z.B. die Stelle gesucht ist, an der \(f\) den Wert 5 hat, gehst du zur 5 auf der y-Achse. Alle Punkte mit y-Koordinate 5 sind auf einer waagerechten Geraden.
Geh solange nach rechts und nach unten, bis alle entsprechenden Punkte auf dem Funktionsgraphen markiert hast. Die zugehörigen Stellen liest du an der x-Achse ab.
Hier ein Video dazu: youtube-Kanal Herr Speck
Trainingsaufgabe: AB Training Graphen
Wert und Stelle berechnen
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=2x+15\).
Beispiel-Aufgabe
Welchen Wert nimmt \(f\) an der Stelle 10 an?
Lösung:
Gegeben: \(x=10\) ("Stelle 10")
Gesucht: \(y=f(10)\) ("Wert")
\(f(10)=2\cdot10+15=35\)
Beispiel-Aufgabe
An welcher Stelle nimmt \(f\) den Wert 14,5 an?
Lösung:
Gegeben: \(f(x)=14,5\) ("Wert 14,5")
Gesucht: \(x\) ("Stelle")
\(f(x)=14,5\)
\(\Leftrightarrow 2\cdot x+15=14,5 \:\vert -15\)
\(\Leftrightarrow 2\cdot x=-0,5 \:\vert :2\)
\(\Leftrightarrow x=-0,25\)
Bestimmt ist dir aufgefallen:
Wenn die Stelle gegeben ist und der Wert soll berechnet werden, ist das ein Heimspiel:
du musst die gegebene Zahl nur für \(x\) einsetzen und dann ausrechnen.
Wenn umgekehrt der Funktionswert gegeben ist und die Stelle gesucht, musst du eine Gleichung nach \(x\) auflösen:
Das ist immer aufwändiger - je nach Gleichung sogar richtig schwer.
Training Wert und Stelle berechnen
Rundum-Training
Mit der pdf-Datei Check Gleichungen loesen kannst du überprüfen, wie sicher du in den Umformungen fürs Lösen von Gleichungen bist.
In der Datei findest du einen Link auf die Lösungen.
pdf-Datei zum Training: Training 1
noch ne pdf-Datei zum Training: Training 2
Soweit so gut. Entscheide selbst, wie es weitergeht:
brauchst du etwas Training im Lösen linearer Gleichungen? Lineare Gleichungen (Mathebaustelle)
oder im Lösen quadratischer Gleichungen?
Grundlagen Quadratische Gleichungen (Mathebaustelle)
oder willst du mit den ersten ökonomischen Anwendungen starten? Erste ökonomische Anwendungen
Checklist um Alles nochmal durchzugehen (Thema Funktionsbegriff): checklist_funktionsbegriff.pdf. Hilfen/Aufgaben dazu sind verlinkt.
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