Kurs Funktionen 2 - next level ökonomische Anwendungen: Monopol
Geradengleichungen aufstellen
Wenn man wirtschaftliche Fragen mit Hilfe von Funktionen untersuchen will, braucht man erstmal die Funktionen dazu.
Ein Unternehmen kann ja schlecht in ein Schulbuch gucken, wie denn die eigene Gewinnfunktion aussieht.
Im Folgenden wiederholen wir, wie man aus ein paar Daten eine lineare Funktion aufstellt.
Erinnerung: Eine lineare Funktion hat immer folgende Bauform:
\(g(x)=m\cdot x+b\),
dabei ist \(b\) der y-Achsenabschnitt.
\(m\) ist die Steigung.
Vielleicht erinnerst du dich noch an die Formel \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
Diese beruht auf der Idee des Steigungsdreiecks.
Hier ein paar Hintergrundinformationen: Geradensteigung, Geradengleichung und hier ein vorgerechnetes Beispiel
Wenn du etwas trainieren möchtest, hier ist eine Datei dazu: Check (Lösungen sind verlinkt)
"EKG": Erlöse, Kosten, Gewinne
Damit kann man natürlich lineare Kosten- Erlös- oder Gewinnfunktionen aufzustellen. Vielleicht nicht ganz realistisch, denn das Unternehmen wird ja den Preis, die Fixkosten und die variablen Stückkosten kennen. Dann braucht es nicht extra Daten erheben.
Wir können uns solche Aufgaben ja trotzdem mal anschauen: hier ein vorgerechnetes Beispiel (Kostenfunktion aus einem Punkt und der Steigung berechnen)
next level "EKG": Das Monopol
Du willst mehr verkaufen? Vielleicht solltest du den Preis senken?
Das macht insbesondere Sinn, wenn du eine Monopolstellung hast, also keine Konkurrenz, z.B. weil du als einziger ein Patent auf eine Neuentwicklung hast.
Dann kannst du dich nicht am Marktpreis orientieren, sondern musst überlegen, wie hoch du den Preis ansetzt.
Im einfachsten Modell kann man davon ausgehen, dass eine Preissenkung um 1 GE/ME immer denselben Zuwachs an Kundschaft bzw. Absatz bewirkt.
Das wäre dann ein linearer Zusammenhang zwischen Absatzmenge und Preis.
Dazu habe ich ein Video mit Zeichnungen gemacht:
Allgemein sieht das so aus:
Wenn wir wie gewohnt die Menge auf der x-Achse eintragen, kommen wir zu einer Funktion \(p\) mit
\(p(x)=m\cdot x+b, x\>= 0 \)
\(p(x)\) ist jetzt der Preis in GE/ME, den ich wählen muss, um \(x\) ME verkaufen zu können.
Je geringer der Preis, deso höher die Ausbringungsmenge, also fällt diese Gerade. Also muss \(m\) negativ sein.
Sagen wir z.B. mal
\(p(x)=-0,5x+4\)
Was bedeutet das?
\(p(0)=-0,5\cdot 0+4=4.\)
Also: Wenn ich den Preis bei 4 GE/ME festsetze, kauft keiner das Produkt.
Um eine Mengeneinheit mehr zu verkaufen, muss ich den Preis um 0,5 GE/ME senken.
Wenn mein Ziel ist, sagen wir mal 5 ME zu verkaufen, setze ich den Preis auf
\(p(5)=-0,5\cdot 5+4=-2,5+4=1,5 [GE/ME].\)
Wichtige Begriffe:
Der y-Achsenabschnitt p(0) (also hier y=4 GE/ME) ist der Prohibitivpreis:
Wirtschafltich wenig sinnvoll, denn es wird nichts verkauft (x=0).
Die Nullstelle berechnet man so:
\(p(x)=0\)
\(\Leftrightarrow -0,5x+4=0\) |-4
\(\Leftrightarrow -0,5x=-4\) |\(\cdot (-2)\)
\(\Leftrightarrow x=8\)
Ergebnis: 8 ME ist die größte Menge, die ich absetzen kann,
aber leider nur, indem ich das Produkt verschenke (Preis Null).
Diese Nullstelle nennt man Sättigungsmenge \(x_S\).
Für den Erlös (Umsatz, der "in die Kasse kommt") bedeutet das bei dem oben herausgegriffenen Preis von 1,5 GE/ME:
Man verkauft 5 ME zum Preis von 1,5 GE/ME, nimmt also \(1,5\cdot 5=7,5 [GE]\) ein.
Wie immer: Erlös ist Preis mal Menge.
Für die Funktion gilt dann:
\(E(x)=p(x)\cdot x \)
\(E(x)=(-0,5x+4)\cdot x=-0,5x^2+4x \)
Wir haben eine quadratische Erlösfunktion.
Ihre Nullstellen liegen bei 0 und bei der Sättigungsmenge \(x_S\).
Das ist eigentlich klar: \(x=0\ bedeutet, dass mein Preis zu hoch ist und keiner etwas kauft. \(x=x_S\ bedeutet, ich kann zwar viel absetzen, aber nur indem ich es verschenke. In beiden Fällen kommt nichts in meine Kasse.
Hier findest du Arbeitsblätter dazu:
Einstieg: Du hast ein Monopol (AB ohne Lösungen)
AB zu den Grundbegriffen: hier Lösungen dazu: hier
Hier gehts zum Taining: Check
Manchmal muss man die Preisabsatzfunktion auch erst aufstellen.
Hier ein Arbeitsblatt dazu: AB
Hey, wenn du das üben willst, vielleicht sogar mich mit TI-nspire-CAS, hab ich hier ein Arbeitsblatt mit Lösungen und Videos, in denen es vorgerechnet wird:
Erklärfilm
dh
Hier die Grundbegriffe und die meisten Standardaufgaben im Überblick:
Übersicht: Monopol (quadratische Erlösunfunkion, lineare Kotenfunktion)
Nur zur Erinnerung: Das basiert alles auf dem linearen Fall (Polypol), der im ersten Teil des Kurses bearbeitet wurde: Polypol
Geradensteigung, Monopol, Preisabsatzfunktion, Sättigungsmenge, Prohibitivpreis, Cournot´scher Punkt