Kurs Funktionen - ökonomische Anwendungen
Geradengleichungen aufstellen
Wenn man wirtschaftliche Fragen mit Hilfe von Funktionen untersuchen will, braucht man erstmal die Funktionen dazu.
Ein Unternehmen kann ja schlecht in ein Schulbuch gucken, wie denn die eigene Gewinnfunktion aussieht.
Im Folgenden wiederholen wir, wie man aus ein paar Daten eine lineare Funktion aufstellt.
Erinnerung: Eine lineare Funktion hat immer folgende Bauform:
\(g(x)=m\cdot x+b\),
dabei ist \(b\) der y-Achsenabschnitt.
\(m\) ist die Steigung.
Vielleicht erinnerst du dich noch an die Formel \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
Diese beruht auf der Idee des Steigungsdreiecks.
Hier ein paar Hintergrundinformationen: Geradensteigung, Geradengleichung und hier ein vorgerechnetes Beispiel
Wenn du etwas trainieren möchtest, hier ist eine Datei dazu: Check (Lösungen sind verlinkt)
"EKG": Erlöse, Kosten, Gewinne
Damit kann man natürlich lineare Kosten- Erlös- oder Gewinnfunktionen aufzustellen. Vielleicht nicht ganz realistisch, denn das Unternehmen wird ja den Preis die Fixkosten und die variablen Stückkosten kennen. Dann braucht es nicht extra Daten erheben.
Wir können uns solche Aufgaben ja trotzdem mal anschauen: hier ein vorgerechnetes Beispiel (Kostenfunktion aus einem Punkt und der Steigung berechnen)
nex level "EKG": Das Monopol
Eine andere Situation wird eher auftreten: Ein Unternehmen überlegt, den Preis zu senken, um mehr von seinem Produkt verkaufen zu können. Das macht insbesondere Sinn, wenn es eine Monopolstellung hat, also keine Konkurrenz, z.B. weil es als einzige ein Patent auf eine Neuentwicklung hat.
Das Unternehmen kann sich dann nicht am Marktpreis orientieren, sondern muss überlegen, wie hoch es den Preis ansetzt.
Im einfachsten Modell kann man davon ausgehen, dass eine Preissenkung um 1 GE/ME immer denselben Zuwachs an Kundschaft bzw. Absatz bewirkt.
Daraus ergibt sich ein linearer Zusammenhang zwischen Absatzmenge und Preis:
Wenn wir wie gewohnt die Menge auf der x-Achse eintragen, kommen wir zu einer Funktion \(p\) mit
\(p(x)=m\cdot x+b, x\>= 0 \)
\(p(x)\) ist jetzt der Preis in GE/ME, den ich wählen muss, um \(x\) ME verkaufen zu können.
Je geringer der Preis, deso höher die Ausbringungsmenge, also fällt diese Gerade. Also muss \(m\) negativ sein.
Sagen wir z.B. mal
\(p(x)=-0,5x+4\)
Was bedeutet das?
\(p(0)=-0,5\cdot 0+4=4.\)
Also: Wenn ich den Preis bei 4 GE/ME festsetze, kauft keiner das Produkt.
Um eine Mengeneinheit mehr zu verkaufen, muss ich den Preis um 0,5 GE/ME senken.
Wenn mein Ziel ist, sagen wir mal 5 ME zu verkaufen, setze ich den Preis auf
\(p(5)=-0,5\cdot 5+4=-2,5+4=1,5 [GE/ME].\)
Wichtige Begriffe:
Der y-Achsenabschnitt p(0) (also hier y=4 GE/ME) ist der Prohibitivpreis:
Wirtschafltich wenig sinnvoll, denn es wird nichts verkauft (x=0).
Die Nullstelle berechnet man so:
\(p(x)=0\)
\(\Leftrightarrow -0,5x+4=0\) |-4
\(\Leftrightarrow -0,5x=-4\) |\(\cdot (-2)\)
\(\Leftrightarrow x=8\)
Ergebnis: 8 ME ist die größte Menge, die ich absetzen kann,
aber leider nur, indem ich das Produkt verschenke (Preis Null).
Diese Nullstelle nennt man Sättigungsmenge \(x_S\).
Für den Erlös (Umsatz, der "in die Kasse kommt") bedeutet das bei dem oben herausgegriffenen Preis von 1,5 GE/ME:
Man verkauft 5 ME zum Preis von 1,5 GE/ME, nimmt also \(1,5\cdot 5=7,5 [GE]\) ein.
Wie immer: Erlös ist Preis mal Menge.
Für die Funktion gilt dann:
\(E(x)=p(x)\cdot x \)
\(E(x)=(-0,5x+4)\cdot x=-0,5x^2+4x \)
Wir haben eine quadratische Erlösfunktion.
Ihre Nullstellen liegen bei 0 und bei der Sättigungsmenge \(x_S\).
Hier die Grundbegriffe im Überblick:
Hier Erläuterungen zu den Vokabeln: Geradensteigung, Monopol, Preisabsatzfunktion, Sättigungsmenge, Prohibitivpreis, Cournot´scher Punkt